Question

函数f（x）=-sin²x+sinx+1，x∈[0，

5

4

π]的值域为

 

．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：计算题,函数的性质及应用,三角函数的图像与性质

分析：先根据x的范围确定sinx的范围，利用换元法把函数转化成关于t的一元二次函数，根据函数的单调性确定函数的最大值和最小值．

解答： 解：∵x∈[0，

5π

4

]，
∴sinx∈[-

2

2

，1]，
设sinx=t，则t∈[-

2

2

，1]，
y=-t²+t-1，对称轴为t=

1

2

，开口向下，在区间[-

2

2

，

1

2

]上单调增，
在[

1

2

，1]上单调减，
∴y_max=f（

1

2

）=-

1

4

+

1

2

-1=-

3

4

，
y_min=f（-

2

2

）=-

1

2

-

2

2

-1=-

3+ 2

2

，
∴函数的值域为：[-

3+ 2

2

，-

3

4

]，
故答案为：[-

3+ 2

2

，-

3

4

]

点评：本题主要考查了二次函数的性质，三角函数求最值．解题的关键时利用换元法，利用二次函数的性质来解决．