Question

14．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且$\left\{{\frac{S_n}{n+1}}\right\}$是首项和公差均为$\frac{1}{2}$的等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若${b_n}=\frac{{{a_{n+1}}^2+{a_{n+2}}^2}}{{{a_{n+1}}•{a_{n+2}}}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）$\left\{{\frac{S_n}{n+1}}\right\}$是首项和公差均为$\frac{1}{2}$的等差数列，可得$\frac{{S}_{n}}{n+1}$=$\frac{n}{2}$，即S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$．利用递推关系即可得出a_n．
（2）${b_n}=\frac{{{a_{n+1}}^2+{a_{n+2}}^2}}{{{a_{n+1}}•{a_{n+2}}}}$=$\frac{（n+1）^{2}+（n+2）^{2}}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{n+1}{n+2}$+$\frac{n+2}{n+1}$=2+$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$，利用裂项求和方法即可得出．

解答 解：（1）∵$\left\{{\frac{S_n}{n+1}}\right\}$是首项和公差均为$\frac{1}{2}$的等差数列，∴$\frac{{S}_{n}}{n+1}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}（n-1）$=$\frac{n}{2}$，∴S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$．
∴n=1时，a₁=S₁=1；
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{n（n+1）}{2}$-$\frac{n（n-1）}{2}$=n．n=1时也成立．
∴a_n=n．
（2）${b_n}=\frac{{{a_{n+1}}^2+{a_{n+2}}^2}}{{{a_{n+1}}•{a_{n+2}}}}$=$\frac{（n+1）^{2}+（n+2）^{2}}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{n+1}{n+2}$+$\frac{n+2}{n+1}$=2+$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=2n+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）$+…+$（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$
=2n+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．