Question

5．函数y=sinx与y=cosx在x∈[0，$\frac{π}{2}$]内的交点为P，在点P处两函数的切线与x轴所围成的三角形的面积为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 联立y=sinx与y=cosx求出在[0，$\frac{π}{2}$]内的交点P坐标，然后求出该点处两切线方程，从而求出三角形的三个顶点坐标，最后根据三角形面积公式求解．

解答 解：由sinx=cosx，且x∈[0，$\frac{π}{2}$]，得x=$\frac{π}{4}$，
∴y=sinx与y=cosx在[0，$\frac{π}{2}$]内的交点P的坐标是（$\frac{π}{4}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
函数y=sinx与y=cosx的导函数分别为y=cosx与y=-sinx，
则两函数在（$\frac{π}{4}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）处的切线的斜率分别为$\frac{\sqrt{2}}{2}，-\frac{\sqrt{2}}{2}$．
得两条切线方程分别是y-$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x-$\frac{π}{4}$）和y-$\frac{\sqrt{2}}{2}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x-$\frac{π}{4}$），
y=0时，x=$\frac{π}{4}$-1，x=$\frac{π}{4}$+1，
于是三角形三顶点坐标分别为（$\frac{π}{4}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），（$\frac{π}{4}$-1，0），（$\frac{π}{4}$+1，0），
S=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即它们与x轴所围成的三角形的面积是$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题主要考查了利用导数研究函数的再某点切线方程，以及三角方程和三角形面积公式，属于中档题．