Question

6．已知圆心在直线y=x+4上，半径为$2\sqrt{2}$的圆经过原点O．
（1）求圆C的方程；
（2）求经过点（0，2），且被圆C截得弦长为4的直线的方程；
（3）设直线l：y=x+m，当m为何值时，直线与圆相切．

Answer 1

分析 （1）设圆心C（a，a+4），则圆的方程为（x-a）²+（y-a-4）²=8，由该圆过原点，解得a=-2，由此能求出圆的方程．
（2）当直线斜率不存在时，直线方程为x=0，经检验符合题意，当直线斜率存在时，设直线方程为y=kx+2，圆心到y=kx+2的距离d=$\frac{|2k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，圆的半径r=2$\sqrt{2}$，从而1+k²=k²，无解，由此能求出直线方程．
（3）由直线l：y=x+m与圆相切，得到$\frac{|-2-2+m|}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}$=2$\sqrt{2}$，由此能求出直线与圆相切时的m的值．

解答 解：（1）设圆心C（a，a+4），则圆的方程为（x-a）²+（y-a-4）²=8，
又该圆过原点，∴a²+（a+4）²=8，解得a=-2，
∴所求的圆的方程为（x+2）²+（y-2）²=8．
（2）当直线斜率不存在时，直线方程为x=0，经检验符合题意，
当直线斜率存在时，设直线方程为y=kx+2，
由圆心到y=kx+2的距离为：
d=$\frac{|-2k-2+2|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{|2k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
又圆的半径r=2$\sqrt{2}$，∴${2}^{2}+\frac{4{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$=8，
解得1+k²=k²，无解，
综上，直线方程为x=0．
（3）∵直线l：y=x+m与圆相切，
∴$\frac{|-2-2+m|}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}$=2$\sqrt{2}$，
∴|m-4|=4，解得m=0或m=8，
∴当m=0或m=8时，直线y=x+m与圆C相切．

点评 本题考查圆的方程、直线方程、实数值的求法，涉及到圆、直线方程、点到直线的距离公式、直线与圆相切等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．