Question

3．设集合A为函数y=lg$\frac{1+x}{2-x}$的定义域，集合B为不等式（ax-1）（x+2）≥0（a＞0）的解集．
（1）若a=1，求A∩B；
（2）若B⊆∁_RA，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分别求出A、B，再计算交集；
（2）求出B和∁_RA，比较两集合端点值的大小即可得出a的范围．

解答 解：（1）由函数y=lg$\frac{1+x}{2-x}$有意义得$\frac{1+x}{2-x}$＞0，即（1+x）（2-x）＞0，
解得-1＜x＜2，即A={x|-1＜x＜2}．
解不等式（x-1）（x+2）≥0得x≤-2或x≥1，即B={x|x≤-2或x≥1}．
∴A∩B={x|1≤x＜2}．
（2）由（1）知∁_RA={x|x≤-1或x≥2}，
解不等式（ax-1）（x+2）≥0得x≤-2或x≥$\frac{1}{a}$，即B={x|x≤-2或x≥$\frac{1}{a}$}，
∵B⊆∁_RA，∴$\frac{1}{a}$≥2，解得0＜a$≤\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了集合的运算，对数函数的定义域，属于中档题．