Question

（1）设等差数列的前n项和为S_n，前2n项和为S_2n，前3n项和为S_3n．求证：S_3n=3（S_2n-S_n）
（2）试推广上述结论，并予以证明．

Answer 1

考点：等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）设出等差数列的首项为a₁，公差为d，然后利用等差数列的前n项和公式代入等式左右两边得答案；
（2）推广结论：S_（2k+1）n=（2k+1）（S_2kn-S_（2k-1）n）．利用（1）中的方法加以证明．

解答： 证明：（1）设等差数列的首项为a₁，公差为d，则
S3n=3na1+

3n(3n-1)d

2

，S2n=2na1+

2n(2n-1)d

2

，Sn=na1+

n(n-1)d

2

，
3（S_2n-S_n）=3(2na1+2n2d-nd-na1-

n2d

2

+

d

2

)=3na1+

9n2d-3nd

2

=3na1+

3n(3n-1)d

2

．
∴S_3n=3（S_2n-S_n）；
（2）推广上述结论得：S_（2k+1）n=（2k+1）（S_2kn-S_（2k-1）n）．
证明：S(2k+1)n=(2k+1)na1+

(2kn+n)(2kn+n-1)d

2

，
（2k+1）（S_2kn-S_（2k-1）n）=(2k+1)[2kna1+

2kn(2kn-1)d

2

-(2kn-n)a1-

(2kn-n)(2kn-n-1)d

2

]
=(2k+1)[na1+

n(2kn+n-1)d

2

]=(2k+1)na1+

(2kn+n)(2kn+n-1)d

2

．
∴S_（2k+1）n=（2k+1）（S_2kn-S_（2k-1）n）．

点评：本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的通项公式，考查了计算能力，是中档题．