Question

设点A，B分别在直线3x-y+5=0和3x-y-13=0上运动，线段AB的中点M恒在直线x+y=4上或者其右上方区域．则直线OM斜率的取值范围是（　　）

• A、（

  1

  3

  ，1]
• B、[1，3）
• C、（-∞，1]∪（3，+∞）
• D、（-∞，1]∪（

  1

  3

  ，+∞）

Answer 1

考点：直线的斜率

专题：直线与圆

分析：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则3x₁-y₁-5=0，3x₂-y₂-13=0，两式相加得3（x₁+x₂）-（y₁+y₂）-8=0，设M（x₀，y₀），则由中点的坐标公式可得3x₀-y₀-4=0，又点M在直线x+y=4上或者其右上方区域，画图得到M位于以（2，2）为端点向上的射线上，数形结合可得答案．

解答： 解：设A，B两点的坐标为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵点A，B分别在直线3x-y+5=0和3x-y-13=0上运动，
∴3x₁-y₁-5=0，①
3x₂-y₂-13=0，②
两式相加得3（x₁+x₂）-（y₁+y₂）-8=0．
设线段AB的中点M（x₀，y₀），
则x₁+x₂=2x₀，y₁+y₂=2y₀．
∴3x₀-y₀-4=0．
即y₀=3x₀-4．
又M恒在直线x+y=4上或者其右上方区域，
∴线段AB的中点M满足

x+y≥4 y=3x-4

，如图．

联立

x+y=4 y=3x-4

，解得M（2，2），
∴M位于以（2，2）为端点向上的射线上，
当M（2，2）时，k_OM=1，
∴直线OM斜率的取值范围是[1，3）．
故选：B．

点评：本题考查了直线的斜率，考查了数学转化思想方法和数形结合的解题思想方法，属于中档题．