题目内容

已知离心率为
2
2
的椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）过点M(
6
，1)
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点（1，0）作斜率为2直线l与椭圆相交于A，B两点，求|AB|的长．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（1）离心率为
2
2
，得椭圆方程为x2+2y2=2c2，把点M(
6
，1)代入，能求出椭圆方程．
（2）直线l：y=2x-2，联立
x2+2y2=8
y=2x-2
，得9x2-16x=0，由此利用椭圆弦长公式能求出|AB|的长．
解答： 解：（1）∵离心率为
2
2
的椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）过点M(
6
，1)，
∴e=
2
2
，∴a=
2
c，b=c，…（2分）
∴椭圆方程为x2+2y2=2c2，
把点M(
6
，1)代入，得6+2=2c2，…（4分）
解得c2=4，…（5分）
∴椭圆方程为
x2
8
+
y2
4
=1．…（6分）
（2）∵过点（1，0）作斜率为2直线l，
∴直线l：y=2x-2，
联立
x2+2y2=8
y=2x-2
，整理，得9x2-16x=0…（8分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=
16
9
，x1•x2=0…（10分）
∴|AB|=
1+22
|x1-x2|=
16
9
5
．…（12分）
点评：本题考查椭圆方程的求法，考查弦长的求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用．
练习册系列答案
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若函数y=f（x）图象上的任意一点P的坐标（x，y）满足条件x2＞y2，则称函数f（x）具有性质S，那么下列函数中具有性质S的是（　　）
A、f（x）=ex-1
B、f（x）=ln（x+1）
C、f（x）=sinx
D、f（x）=tanx
已知数列{an}前n项和为Sn，且Sn=n2+
1
2
n
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn=2n，设cn=
an+
1
2
bn
，求数列{cn}的前n项和Tn．
在平面直角坐标系xOy中，点A（1，-2），B（a，-1），C（-b，0），且a＞0，b＞0．
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1
a
+
2
b
的最小值，并求此时直线L的方程；
（2）若以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长相等，且
OA
•（
AB
-
AC
）=5 求a，b的值．
设曲线y=xn+1（n∈N*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点坐标为（an，0）．
（Ⅰ）求an的表达式；
（Ⅱ）设bn=
1-an+n•2n
n
，求数列{bn}的前n项和Sn．
设数列{an}的前n项和为Sn，a1=10，an+1=9Sn+10．
（Ⅰ）求证：{lgan}是等差数列；
（Ⅱ）设Tn是数列{
3
(lgan)(lgan+1)
}的前n项和，求Tn；
（Ⅲ）求使Tn＞
1
4
（m2-5m）对所有的n∈N*恒成立的整数m的取值集合．
（1）若关于x的方程2x2-3x+2m=0的两根均在[-1，1]之间，求m的取值范围．
（2）若关于x的方程2x2-3x+2m=0在[-1，1]内有解，求m的取值范围．
已知一个袋中装有3个白球和3个红球，这些球除颜色外完全相同．
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（2）每次从袋中取一个球，取出后放回接着再取一个球，这样取3次，求取出红球次数η的数学期望．
已知椭圆C：
x2
20
+
y2
15
=1，
（1）若P（x，y）是C上一点，求x+5y的最小值；
（2）证明椭圆C的面积S=10
3
π．

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