Question

已知点（4，-4）在抛物线C：y²=2px（p＞0）上，过焦点F且斜率为k（k＞0）的直线交抛物线C于A、B两点，|AB|=8，线段AB的垂直平分线交x轴于点G．
（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；
（Ⅱ）若线段AB的中点为H，求△FGH的外接圆方程．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）由点（4，-4）在抛物线C：y²=2px（p＞0）上，代入计算，可得抛物线C的标准方程；
（Ⅱ）设直线AB的方程为y=k（x-1），代入抛物线方程，确定线段AB的中点H的坐标，△FGH的外接圆即为以FG为直径的圆，即可求△FGH的外接圆方程．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得，16=2p×4∴p=2
所以抛物线C的标准方程为y²=4x．
（Ⅱ）焦点F（1，0），设直线AB的方程为y=k（x-1），代入抛物线方程，可得k²x-（2k+²4）x+k²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=

2k2+4

k2

．
∵|AB|=8，∴x₁+x₂+2=8，
∴

2k2+4

k2

+2=8，
∵k＞0，∴k=1．
∵线段AB的中点为H，
∴H（3，2），
∴直线HG的方程为y-2=-（x-3），令y=0得G（5，0），
△FGH的外接圆即为以FG为直径的圆，方程为（x-3）²+y²=4．

点评：本题考查抛物线方程，考查圆的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．