Question

7．某程序每运行一次都随机产生一个五位的二进制数A=，其中A的各位数字中，a₁=1，且a_k（k=2，3，4，5）为0和1的概率分别是$\frac{1}{4}$和$\frac{3}{4}$．记ξ=a₁+a₂+a₃+a₄+a₅，当程序运行一次时：
（Ⅰ）求ξ的分布列；
（Ⅱ）求ξ的数学期望和方差．

Answer 1

分析 （I）ξ的取值可以是1，2，3，4，5，P（ξ=k）=${∁}_{4}^{k-1}（\frac{3}{4}）^{k-1}（\frac{1}{4}）^{5-k}$，即可得出分布列．
（II）利用数学期望与方差计算公式即可得出．

解答 解：（I）ξ的取值可以是1，2，3，4，5，P（ξ=k）=${∁}_{4}^{k-1}（\frac{3}{4}）^{k-1}（\frac{1}{4}）^{5-k}$，
可得：P（ξ=1）=$\frac{1}{256}$，P（ξ=2）=$\frac{12}{256}$，$P（ξ=3）=C_4^2{（\frac{3}{4}）^2}{（\frac{1}{4}）^2}=\frac{54}{256}$，P（ξ=4）=$\frac{108}{256}$，$P（ξ=5）=C_4^4{（\frac{3}{4}）^4}=\frac{81}{256}$，∴ξ的分布列是

ξ	1	2	3	4	5
P	$\frac{1}{256}$	$\frac{12}{256}$	$\frac{54}{256}$	$\frac{108}{256}$	$\frac{81}{256}$

（II）由（I）可得：$Eξ=1×\frac{1}{256}+2×\frac{12}{256}+3×\frac{54}{256}+4×\frac{108}{256}+5×\frac{81}{256}=4$．$Dξ={（{1-4}）^2}×\frac{1}{256}+{（{2-4}）^2}×\frac{12}{256}+{（{3-4}）^2}×\frac{54}{256}+{（{4-4}）^2}×\frac{108}{256}+{（{5-4}）^2}×\frac{81}{256}=\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了随机变量的分布列、数学期望及其方差的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．