Question

18．设数列{a_n}的前n项和为S_n，并且满足2S_n=a_n²+n，a_n＞0．猜想{a_n}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．

Answer 1

分析 由2S_n=a_n²+n，a_n＞0．n=1时，2a₁=${a}_{1}^{2}$+1，解得a₁=1．同理可得a₂=2，…．猜想a_n=n．再利用数学归纳法证明即可．

解答 解：由2S_n=a_n²+n，a_n＞0．n=1时，2a₁=${a}_{1}^{2}$+1，解得a₁=1．
n=2时，2（1+a₂）=${a}_{2}^{2}$+2，解得a₂=2，…．
猜想a_n=n．
下面利用数学归纳法证明：（1）当n=1时，a₁=1成立．
（2）假设n=k∈N^*时，a_k=k．则S_k=$\frac{k（k+1）}{2}$．
则n=k+1时，2$[\frac{k（k+1）}{2}+{a}_{k+1}]$=${a}_{k+1}^{2}$+k+1，a_k+1＞0，解得a_k+1=k+1．
∴n=k+1时有时成立．
综上可得：a_n=n对?n∈N^*都成立．

点评 本题考查了数列递推关系、猜想方法、数学归纳法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．