Question

19．已知△ABC的顶点A（1，5），AB边上的中线CM所在直线方程为x-2y+5=0，AC边上的高BH所在直线方程为2x-y+5=0，求：
（Ⅰ）顶点C的坐标；
（Ⅱ）直线BC的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设顶点C的坐标为（ m，n），利用条件以及线段的中点公式、两条直线垂直的性质，求得m、n的值，可得点C的坐标．
（Ⅱ）设点B的坐标为（e，f），利用条件线段的中点公式，求得e、f的值，可得B的坐标，再利用式求得直线BC的方程．

解答 解：（Ⅰ）设顶点C的坐标为（ m，n），则由点C在直线CM上，可得m-2n+5=0 ①．
再根据AC⊥BH，可得$\frac{n-5}{m-1}$•2=-1 ②，
由①②求得 $\left\{\begin{array}{l}{m=3}\\{n=4}\end{array}\right.$，∴C（3，4）．
（Ⅱ）设点B的坐标为（e，f），则AB的中点（$\frac{e+1}{2}$，$\frac{f+5}{2}$）在CM：x-2y+5=0上，
∴$\frac{e+1}{2}$-2•$\frac{f+5}{2}$+5=0，即e-2f-4=0 ③．
再根据点B的坐标为（e，f） 满足BH所在直线方程2x-y+5=0，可得2e-f+5=0 ④，
由③④求得$\left\{\begin{array}{l}{e=-\frac{14}{3}}\\{f=-\frac{13}{3}}\end{array}\right.$，∴B（-$\frac{14}{3}$，-$\frac{13}{3}$），由两点式求得直线BC的方程为$\frac{y-4}{-\frac{13}{3}-4}$=$\frac{x-3}{-\frac{14}{3}-3}$，
即 25x-23y+17=0．

点评 本题主要考查两条直线垂直的性质，线段的中点公式，用两点式求直线的方程，属于中档题．