Question

某公司验收一批产品，已知该批产品的包装规格为每箱10件．现随机抽取一箱进行检验，检验方案如下：从中抽取1件进行检验，若是次品，则不再检验并拒收这批产品；若是正品，则再从该箱中抽取1件进行检验，如此继续，至多进行4次检验（每次检验过的产品都不放回），若连续检验的4件产品都是正品，则接收这批产品．锁定抽取的这箱产品中有2件是次品．
（Ⅰ）在第一次检验为正品的条件下，求第二次检验为正品的概率；
（Ⅱ）求这批产品被拒绝的概率；
（Ⅲ）已知每件产品的检验费用为100元，对这批产品作检验所需的费用为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,古典概型及其概率计算公式,条件概率与独立事件

专题：计算题,概率与统计

分析：（Ⅰ）利用条件概率公式，可求在第一次检验为正品的条件下，求第二次检验为正品的概率；
（Ⅱ）利用对立事件的概率公式，计算可得这批产品被拒绝的概率；
（Ⅲ）X可能的取值为100，200，300，400，分别求其概率，可得分布列，进而可得期望值．

解答： 解：（Ⅰ）设A_i={第i次抽得正品}{i=1，2，3，4}，

.

Ai

={第i次抽得次品}，B={产品被拒绝}，则
在第一次检验为正品的条件下，求第二次检验为正品的概率为P（A₂|A₁）=

7

9

；
（Ⅱ）这批产品被拒绝的概率为1-P（A₁A₂A₃A₄）=1-

4

5

×

7

9

×

3

4

×

5

7

=

2

3

；
（Ⅲ）X=100，200，300，400，则
P（X=100）=

1

5

，P（X=200）=

8

45

，P（X=300）=

7

45

，P（X=400）=

7

15

，
X的分布列

X	100	200	300	400
P	1 5	8 45	7 45	7 15

数学期望EX=100×

1

5

+200×

8

45

+300×

7

45

+400×

7

15

=

2600

9

．

点评：本题考查离散型随机变量及其分布列，涉及数学期望的求解，属中档题．