Question

如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A₁O⊥平面ABCD，AB=

2

，AA₁=2．
（1）证明：AA₁⊥BD
（2）证明：平面A₁BD∥平面CD₁B₁；
（3）求三棱柱ABD-A₁B₁D₁的体积．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的性质,平面与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）首先，得到BD⊥AC，然后，得到A₁O⊥BD，最后，得到BD⊥面A₁AC即可；
（2）首先，得到A₁B₁∥AB AB∥CD，然后，得到四边形A₁B₁CD是平行四边形，从而得到证明结论；
（3）直接根据体积公式进行求解即可．

解答： 解：（1）证明：∵底面ABCD是正方形，
∴BD⊥AC，
又∵A₁O⊥平面ABCD且BD?面ABCD，
∴A₁O⊥BD，
又∵A₁O∩AC=O，A₁O?面A₁AC，AC?面A₁AC，
∴BD⊥面A₁AC，AA₁?面A₁AC，
∴AA₁⊥BD．

（2）∵A₁B₁∥AB，AB∥CD，
∴A₁B₁∥CD，
又A₁B₁=CD，
∴四边形A₁B₁CD是平行四边形，
∴A₁D∥B₁C，同理A₁B∥CD₁，
∵A₁B?平面A₁BD，A₁D?平面A₁BD，CD₁?平面CD₁B₁，B₁C?平面CD₁B，
且A₁B∩A₁D=A₁，CD₁∩B₁C=C，
∴平面A₁BD∥平面CD₁B₁．

（3）∵A₁O⊥面ABCD，
∴A₁O是三棱柱A₁B₁D₁-ABD的高，
在正方形ABCD中，AO=1．
在Rt△A₁OA中，AA₁=2，AO=1，
∴A₁O=

3

，
∴V_{三棱柱ABD-A1B1D1}=S_△ABD•A₁O=

1

2

•（

2

）²•

3

=

3

∴三棱柱ABD-A₁B₁D₁的体积为

3

．

点评：本题考查了空间中点线面的位置关系，例如直线与平面平行、垂直，平面和平面平行等知识，属于中档题．