Question

已知函数f（x）的导函数f′（x），满足xf′（x）+2f（x）=

1

x2

，且f（1）=1，则函数f（x）的最大值为（　　）

• A、0
• B、

  e

• C、

  e

  2

• D、2e

Answer 1

考点：导数的运算,函数的最值及其几何意义

专题：导数的概念及应用

分析：由题意构造函数g（x）=x²f（x），可解得g（x）=1+lnx，f（x）=

1+lnx

x2

，利用导数判断函数f（x）的单调性，求得最大值即可．

解答： 解：∵xf′（x）+2f（x）=

1

x2

，
∴x²f′（x）+2xf（x）=

1

x

，
令g（x）=x²f（x），则g′（x）=x²f′（x）+2xf（x）=

1

x

，
∵f（1）=1，∴g（1）=1，
∴g（x）=1+lnx，f（x）=

1+lnx

x2

，∴f′（x）=

-1-2lnx

x3

，
∴x＜e-

1

2

时，f′（x）=

-1-2lnx

x3

＞0，x＞e-

1

2

时，f′（x）=

-1-2lnx

x3

＜0，
∴当x=e-

1

2

时，f（x）_max=f（e-

1

2

）=

1+lne- 1 2

(e- 1 2 )2

=

e

2

．
故选C．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的性质，解题的关键是构造函数g（x）=x²f（x），逻辑性较强，属于中档题．