Question

已知函数f（x）=-x²+2|x-a|．
（Ⅰ）若函数y=f（x）为偶函数，求a的值；
（Ⅱ）若a=

1

2

，求函数y=f（x）的单调递增区间；
（Ⅲ）当a＞0时，若对任意的x∈[0，+∞），不等式f（x-1）≥2f（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）因为函数y=f（x）为偶函数，所以可由定义得f（-x）=f（x）恒成立，然后化简可得a=0；也可取特殊值令x=1，得f（-1）=f（1），化简即可，但必须检验．
（Ⅱ）分x≥

1

2

，x＜

1

2

，将绝对值去掉，注意结合图象的对称轴和区间的关系，写出单调增区间，注意之间用“和”．
（Ⅲ）先整理f（x-1）≥2f（x）的表达式，有绝对值的放到左边，然后分①0≤x≤a②a＜x≤1+a③x＞1+a讨论，首先去掉绝对值，然后整理成关于x的一元二次不等式恒成立的问题，利用函数的单调性求出最值，从而求出a的范围，最后求它们的交集．

解答： 解：（Ⅰ）解法一：因为函数f（x）=-x²+2|x-a|
又函数y=f（x）为偶函数，
所以任取x∈R，则f（-x）=f（x）恒成立，
即-（-x）²+2|-x-a|=-x²+2|x-a|恒成立．…（3分）
所以|x-a|=|x+a|恒成立，
两边平方得：x²-2ax+a²=x²+2ax+a²
所以4ax=0，因为x为任意实数，所以a=0…（5分）
    解法二（特殊值法）：因为函数y=f（x）为偶函数，
所以f（-1）=f（1），得|1-a|=|1+a|，得：a=0
所以f（x）=-x²+2|x|，
故有f（-x）=f（x），即f（x）为偶函数…（5分）
（Ⅱ）若a=

1

2

，则f(x)=-x2+2|x-

1

2

|=

-x2-2x+1，x＜ 1 2 -x2+2x-1，x≥ 1 2

．…（8分）
由函数的图象并结合抛物线的对称轴可知，函数的单调递增区间为（-∞，-1]和[

1

2

，1]…（10分）
（Ⅲ）不等式f（x-1）≥2f（x）化为-（x-1）²+2|x-1-a|≥-2x²+4|x-a|，
即：4|x-a|-2|x-（1+a）|≤x²+2x-1（*）
对任意的x∈[0，+∞）恒成立．
因为a＞0．所以分如下情况讨论：
①0≤x≤a时，不等式（*）化为-4（x-a）+2[x-（1+a）]≤x²+2x-1，
即x²+4x+1-2a≥0对任意的x∈[0，a]恒成立，
因为函数g（x）=x²+4x+1-2a在区间[0，a]上单调递增，
则g（0）最小，所以只需g（0）≥0即可，得a≤

1

2

，
又a＞0所以0＜a≤

1

2

…（12分）
②a＜x≤1+a时，不等式（*）化为4（x-a）+2[x-（1+a）]≤x²+2x-1，
即x²-4x+1+6a≥0对任意的x∈（a，1+a]恒成立，
由①，0＜a≤

1

2

，知：函数h（x）=x²-4x+1+6a在区间（a，1+a]上单调递减，
则只需h（1+a）≥0即可，即a²+4a-2≥0，得a≤-2-

6

或a≥

6

-2．
因为

6

-2＜

1

2

所以，由①得

6

-2≤a≤

1

2

．…（14分）
③x＞1+a时，不等式（*）化为4（x-a）-2[x-（1+a）]≤x²+2x-1，
即x²+2a-3≥0对任意的x∈（a+1，+∞）恒成立，
因为函数φ（x）=x²+2a-3在区间（a+1，+∞）上单调递增，
则只需φ（a+1）≥0即可，
即a²+4a-2≥0，得a≤-2-

6

或a≥

6

-2，由②得

6

-2≤a≤

1

2

．
综上所述得，a的取值范围是

6

-2≤a≤

1

2

．…（16分）

点评：本题是函数的综合题，考查了函数的重要性质--奇偶性和单调性，同时考查了函数恒成立的一个常用结论：a＞f（x）恒成立，只要a＞f（x）的最大值；a＜f（x）恒成立，只要a＜f（x）的最小值．还重点考查了数学中一个重要数学数学方法--分类讨论．本题属于难题．