Question

17．设F₁、F₂分别为椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点A为椭圆C的左顶点，点B为椭圆C的上顶点，且|AB|=$\sqrt{3}$，△BF₁F₂为直角三角形．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线y=kx+2与椭圆交于P、Q两点，且OP⊥OQ，求实数k的值．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理a²+b²=3，利用焦点三角形为直角三角形可知b=c，结合b²+c²=a²可求出$a=\sqrt{2}，b=1$，进而可知椭圆C的方程；
（2）通过联立直线与椭圆方程，消去y可得关于x的一元二次方程，利用直线与椭圆有交点可知${k^2}＞\frac{3}{2}$，进而结合韦达定理及OP⊥OQ对于的向量内积为零，计算即得结论．

解答 解：（1）由题可知$|AB|=\sqrt{{a^2}+{b^2}}=\sqrt{3}$，所以a²+b²=3，
因为△BF₁F₂为直角三角形，所以b=c，
又b²+c²=a²，
所以$a=\sqrt{2}，b=1$，
所以椭圆方程为：$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．
（2）由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{2}+{y^2}=1\\ y=kx+2\end{array}\right.$，得：（1+2k²）x²+8kx+6=0，
由△=（8k）²-4（1+2k²）•6＞0，得：${k^2}＞\frac{3}{2}$，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则有${x_1}+{x_2}=-\frac{8k}{{1+2{k^2}}}，{x_1}•{x_2}=\frac{6}{{1+2{k^2}}}$，
因为OP⊥OQ，所以$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}={x_1}•{x_2}+{y_1}•{y_2}$
=$（1+{k^2}）{x_1}•{x_2}+2k（{x_1}+{x_2}）+4=\frac{{6-10{k^2}}}{{1+2{k^2}}}+4=0$，
所以k²=5，满足${k^2}＞\frac{3}{2}$，
所以$k=±\sqrt{5}$．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．