Question

19．抛物线y²=2px（p＞0）与过焦点且垂直于其对称轴的直线所围成的封闭图形面积是6，则p=3．

Answer 1

分析 直线l过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点且与该抛物线的轴垂直，则抛物线与直线的交点为（$\frac{p}{2}$，±p），y²=2px（p＞0）⇒x=$\frac{{y}^{2}}{2p}$，根据定积分的几何意义得2${∫}_{0}^{p}$（$\frac{{y}^{2}}{2p}$）dy=p²-6，即可求p．

解答 解：直线l过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点且与该抛物线的轴垂直，
则抛物线与直线的交点为（$\frac{p}{2}$，±p），
y²=2px（p＞0）⇒x=$\frac{{y}^{2}}{2p}$，根据定积分的几何意义得2${∫}_{0}^{p}$（$\frac{{y}^{2}}{2p}$）dy=p²-6，
∵（$\frac{{y}^{3}}{6p}$）′=$\frac{{y}^{2}}{2p}$，
∴2×$\frac{{p}^{2}}{6}$=p²-6，
解得p=3，
故答案为：3．

点评 本题考查了微积分的几何性质，及定积分定理的应用，属于中档题，