Question

7．已知二次函数f（x）=ax²+bx（a，b∈R），满足f（1-x）=f（1+x），且在区间[-1，0]上的最大值为3，若函数g（x）=|f（x）|-mx有唯一零点，则实数m的取值范围是（　　）

• A． [-2，0]
• B． [-2，0）∪[2，+∞）
• C． [-2，0）
• D． （-∞，0）∪[2，+∞）

Answer 1

分析 由题意可得直线x=1为函数f（x）的对称轴，即有-$\frac{b}{2a}$=1①，讨论a＞0，a＜0，得到f（x）在区间[-1，0]的单调性，可得最大值，a-b=3②，解方程组可得a，b的值．作出函数f（x）=|x²-2x|的图象和直线y=mx，再分类讨论，结合图象即可得到结论．

解答 解：二次函数f（x）=ax²+bx（a，b∈R），满足f（1-x）=f（1+x），
可得直线x=1为函数f（x）的对称轴，即有-$\frac{b}{2a}$=1①
由f（x）在区间[-1，0]上的最大值为3，
若a＞0时，则f（x）在[-1，0]递减，f（-1）取得最大值，且为a-b=3②
若a＜0时，f（x）在[-1，0]递增，f（0）取得最大值，且为0，不成立．
由①②解得a=1，b=-2．
则f（x）=x²-2x，
若函数g（x）=|f（x）|-mx有唯一零点，
即为方程|f（x）|=mx有唯一实根，
作出y=|f（x）|的图象和直线y=mx的图象，
当m=0，有y=0与y=|f（x）|有两个交点；
当m＞0时，由mx=2x-x²，即有x²+（m-2）x=0，
由判别式（m-2）²-4×0=0，解得m=2．
由图象可得m≥2时，y=|f（x）|的图象和直线y=mx的图象有两个交点；
当0＜m＜2，y=|f（x）|的图象和直线y=mx的图象有，三个交点；
当m＜0时，且y=mx为曲线y=|f（x）|的切线时，只有一个交点，
即为原点为切点，y=|f（x）|=x²-2x（x＜0），
可得mx=x²-2x即x²-（2+m）x=0只有相等的两实根，
可得判别式（2+m）²-4×0=0，解得m=-2．
由图象可得-2≤m＜0时，y=|f（x）|的图象和直线y=mx的图象只有一个交点，即为原点．
综上可得，所求m的范围为[-2，0）．
故选：C．

点评 本题考查二次函数的解析式的求法，注意运用函数的对称性和单调性，考查函数的零点，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．