题目内容
已知函数f（x）=sinx+cosx，x∈R．
（Ⅰ）求f（
）的值；
（Ⅱ）试写出一个函数g（x），使得g（x）f（x）=cos2x，并求g（x）的单调区间．
（Ⅰ）求f（
| π |
| 12 |
（Ⅱ）试写出一个函数g（x），使得g（x）f（x）=cos2x，并求g（x）的单调区间．
考点：三角函数中的恒等变换应用,两角和与差的正弦函数,正弦函数的图象
专题：三角函数的图像与性质
分析：（Ⅰ）把函数解析式提取
后利用两角和的正弦化积，然后直接取x=
求得f（
）的值；
（Ⅱ）由二倍角的余弦公式可知g（x）=cosx-sinx，化积后利用余弦型复合函数的单调性求函数g（x）的单调区间．
| 2 |
| π |
| 12 |
| π |
| 12 |
（Ⅱ）由二倍角的余弦公式可知g（x）=cosx-sinx，化积后利用余弦型复合函数的单调性求函数g（x）的单调区间．
解答：
解：（Ⅰ）f（x）=sinx+cosx=
sin(x+
)，
∴f(
)=
sin(
+
)=
sin
=
；
（Ⅱ）g（x）=cosx-sinx．
下面给出证明：
∵g（x）f（x）=（cosx-sinx）（sinx+cosx）=cos2x-sin2x=cos2x，
∴g（x）=cosx-sinx符合要求．
又∵g（x）=cosx-sinx=
cos(x+
)，
由2kπ+π＜x+
＜2kπ+2π，得2kπ+
＜x＜2kπ+
，
∴g（x）的单调递增区间为(2kπ+
，2kπ+
)，k∈Z．
又由2kπ＜x+
＜2kπ+π，得2kπ-
＜x＜2kπ+
，
∴g（x）的单调递减区间为(2kπ-
，2kπ+
)，k∈Z．
| 2 |
| π |
| 4 |
∴f(
| π |
| 12 |
| 2 |
| π |
| 12 |
| π |
| 4 |
| 2 |
| π |
| 3 |
| ||
| 2 |
（Ⅱ）g（x）=cosx-sinx．
下面给出证明：
∵g（x）f（x）=（cosx-sinx）（sinx+cosx）=cos2x-sin2x=cos2x，
∴g（x）=cosx-sinx符合要求．
又∵g（x）=cosx-sinx=
| 2 |
| π |
| 4 |
由2kπ+π＜x+
| π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
| 7π |
| 4 |
∴g（x）的单调递增区间为(2kπ+
| 3π |
| 4 |
| 7π |
| 4 |
又由2kπ＜x+
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
∴g（x）的单调递减区间为(2kπ-
| π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
点评：本小题主要考查三角函数的图象与性质、两角和与差三角公式、二倍角公式、三角函数的恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想等．是中档题．
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| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、
|
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-
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| x2 |
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| m |
| 2 |
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