Question

5．设函数f（x）为R上的奇函数，已知当x＞0时，f（x）=-（x+1）²．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（m²+2m）+f（m）＞0，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据函数奇偶性的性质进行转化求解即可．
（Ⅱ）根据条件判断函数的单调性，利用函数奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可．

解答 解：（Ⅰ）∵函数f（x）为R上的奇函数，
∴f（0）=0，
若x＜0，则-x＞0，
∵当x＞0时，f（x）=-（x+1）²．
∴当-x＞0时，f（-x）=-（-x+1）²=-（x-1）²．
∵f（x）是奇函数，
∴f（-x）=-（x-1）²=-f（x），
则f（x）=（x-1）²，x＜0，
则函数f（x）的解析式f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x-1）^{2}，}&{x＜0}\\{0，}&{x=0}\\{-（x+1）^{2}，}&{x＞0}\end{array}\right.$；
（Ⅱ）若f（m²+2m）+f（m）＞0，
则f（m²+2m）＞-f（m）=f（-m），
当x＞0时，f（x）=-（x+1）²为减函数，且f（x）＜-1＜f（0），
当x＜0时，f（x）=（x-1）²为减函数，且f（x）＞1＞f（0），
则函数f（x）在R上是减函数，
则m²+2m＜-m，
即m²+3m＜0，
则-3＜m＜0，
即m的取值范围是（-3，0）．

点评 本题主要考查函数解析式的求解，利用函数函数单调性和奇偶性的关系将不等式进行转化求解是解决本题的关键．