Question

15．已知函数$f（x）=1+x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-…+\frac{{{x^{2017}}}}{2017}$，设F（x）=f（x+4），且F（x）的零点均在区间（a，b）内，其中a，b∈Z，a＜b，则F（x）＞0的最小整数解为（　　）

• A． -1
• B． 0
• C． -5
• D． -4

Answer 1

分析 求出f（x）的导数，讨论x的范围，结合等比数列求和公式，判断导数符号，可得函数f（x）是（-∞，+∞）上的增函数．计算f（-1）＜0，f（0）＞0，可得f（x）的零点范围，进而得到F（x）的零点范围，即可得到所求最小值．

解答 解：∵函数$f（x）=1+x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-…+\frac{{{x^{2017}}}}{2017}$，
∴当x＜-1或x＞-1时，f′（x）=1-x+x²-x³+…+x²⁰¹⁶=$\frac{1+{x}^{2017}}{1+x}$＞0．
而当x=-1时，f′（x）=2017＞0，
∴f′（x）＞0对任意x∈R恒成立，得函数f（x）是（-∞，+∞）上的增函数．
∵f（-1）=（1-1）+（-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（-$\frac{1}{2016}$-$\frac{1}{2017}$）＜0，f（0）=1＞0，
∴函数f（x）在R上有唯一零点x₀∈（-1，0），
∵F（x）=f（x+4），得函数F（x）的零点是x₀-4∈（-5，-4），
则F（x）＞0的最小整数解为-4．
故选：D．

点评 本题考查函数零点问题的解法，注意运用函数零点存在定理，结合函数的导数和单调性，考查运算能力，属于中档题．