Question

已知数列{a_n}的各项均为正整数，且满足a_n+1=a_n²-2na_n+2（n∈N₊），又a₅=11．
（1）求a₁，a₂，a₃，a₄的值并由此推测出{a_n}的通项公式（不要求证明）；
（2）设b_n=11-a_n，S_n=|b₁|+|b₂|+…+|b_n|，求S_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由满足a_n+1=a_n²-2na_n+2（n∈N₊），又a₅=11．分别取n=4，3，2，1即可得出；
（2）由（1）可得：b_n=11-a_n=10-2n．由b_n≥0，解得n≤5，可得|bn|=

10-5n，n≤5 5n-10，n≥6

．令T_n=b₁+b₂+…+b_n=9n-n²．
可得当n≤5时，S_n=T_n．当n≥6时，S_n=T₅-b₆-b₇-…-b_n=2T₅-T_n即可得出．

解答： 解：（1）∵满足a_n+1=a_n²-2na_n+2（n∈N₊），又a₅=11．
∴取n=4可得11=

a

2 4

-8a4+2，
化为（a₄-9）（a₄+1）=0，
又a₄＞0，
∴a₄=9，同理可得a₃=7，a₂=5，a₁=3．
猜想：a_n=2n+1．
（2）由（1）可得：b_n=11-a_n=11-（2n+1）=10-2n．
由b_n≥0，解得n≤5，
∴|bn|=

10-5n，n≤5 5n-10，n≥6

．
令T_n=b₁+b₂+…+b_n
=

n(8+10-2n)

2

=n（9-n）
=9n-n²．
∴当n≤5时，S_n=T_n=9n-n²．
当n≥6时，S_n=T₅-b₆-b₇-…-b_n
=2T₅-T_n
=40-（9n-n²）
=n²-9n+40．
∴Sn=

9n-n2 n2-9n+40

n≤5 n＞5

，且n∈N^*．

点评：本题考查了等差数列的通项公式与前n项和公式、含绝对值数列的求和问题，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．