Question

11．将函数f（x）=sin（2x+ϕ），$（|ϕ|＜\frac{π}{2}）$的图象沿x轴向左平移$\frac{π}{8}$个单位后，得到一个偶函数g（x）的图象，则函数g（x）的一个减区间为（　　）

• A． $[{-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}}]$
• B． $[{-\frac{π}{2}，0}]$
• C． $[{0，\frac{π}{2}}]$
• D． $[{\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}}]$

Answer 1

分析 利用函数的图象变换即三角函数的性质得出g（x）的解析式，利用余弦函数的性质得出g（x）的减区间．

解答 解：将f（x）的图形向左平移$\frac{π}{8}$个单位后得到函数g（x）=sin[2（x+$\frac{π}{8}$）+Φ]=sin（2x+$\frac{π}{4}$+Φ），
∵g（x）是偶函数，
∴$\frac{π}{4}$+Φ=$\frac{π}{2}+kπ$，即Φ=$\frac{π}{4}$+kπ．
∵|Φ|≤$\frac{π}{2}$，∴Φ=$\frac{π}{4}$．
∴g（x）=sin（2x+$\frac{π}{2}$）=cos2x．
令2kπ≤2x≤π+2kπ，解得kπ≤x≤$\frac{π}{2}$+kπ．
当k=0时，g（x）的减区间为[0，$\frac{π}{2}$]．
故选：C．

点评 本题考查了三角函数的诱导公式，三角函数的性质，余弦函数的单调区间，属于中档题．