Question

11．已知数列{a_n}的各项均为正数，且满足2a_n+1+$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=a_n$+\frac{2}{{a}_{n}}$（n∈N^*），且使得a₁=a₂₀₁₆成立的a₁的值是1．

Answer 1

分析 满足2a_n+1+$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=a_n$+\frac{2}{{a}_{n}}$（n∈N^*），化为：（2a_n+1-a_n）$（1-\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}）$=0，可得${a}_{n+1}=\frac{1}{2}{a}_{n}$，或a_na_n+1=1，由${a}_{n+1}=\frac{1}{2}{a}_{n}$，可得数列{a_n}为单调数列，不可能有a₁=a₂₀₁₆成立，舍去．由a_na_n+1=1，可得a_n=a_n+2．使得a₁=a₂₀₁₆成立，可得a₁=a₂，即可得出．

解答 解：∵满足2a_n+1+$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=a_n$+\frac{2}{{a}_{n}}$（n∈N^*），
化为：（2a_n+1-a_n）$（1-\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}）$=0，
可得${a}_{n+1}=\frac{1}{2}{a}_{n}$，或a_na_n+1=1，
由${a}_{n+1}=\frac{1}{2}{a}_{n}$，可得数列{a_n}为单调数列，不可能有a₁=a₂₀₁₆成立．
由a_na_n+1=1，可得a_n+1a_n+2=1，
∴a_n=a_n+2．
∴a₁=a₃=…，
a₂=a₄=…=a₂₀₁₆．
使得a₁=a₂₀₁₆成立，又a₁，a₂＞0，a₁a₂=1，
∴a₁=a₂，
解得a₁=1．
使得a₁=a₂₀₁₆成立的a₁的值是1．
故答案为：1．

点评 本题考查了递推关系、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．