Question

1．设θ为第二象限角，若$tan（θ+\frac{π}{3}）=\frac{1}{2}$，则sinθ+$\sqrt{3}$cosθ=（　　）

• A． -1
• B． 1
• C． $-\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$
• D． $\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$

Answer 1

分析 由题意可得θ+$\frac{π}{3}$为第三象限角，利用同角三角函数的基本关系求得sin（θ+$\frac{π}{3}$）的值，可得sinθ+$\sqrt{3}$cosθ=2sin（θ+$\frac{π}{3}$）的值．

解答 解：∵θ为第二象限角，若$tan（θ+\frac{π}{3}）=\frac{1}{2}$＞0，∴θ+$\frac{π}{3}$为第三象限角，
∵tan（θ+$\frac{π}{3}$）=$\frac{sin（θ+\frac{π}{3}）}{cos（θ+\frac{π}{3}）}$=$\frac{1}{2}$，${sin}^{2}（θ+\frac{π}{3}）$+${cos}^{2}（θ+\frac{π}{3}）$=1，sin（θ+$\frac{π}{3}$）＜0，
求得sin（θ+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，故sinθ+$\sqrt{3}$cosθ=2sin（θ+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
故选：C．

点评 本题主要考查两角和差的三角公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．