Question

设函数y=

4-x2

2

的图象是曲线C．
（Ⅰ）在如图的坐标系中作出曲线C的示意图，并标出曲线C与x轴的左、右交点A₁，A₂；
（Ⅱ）设P是曲线C上位于第一象限的任意一点，过A₂作A₂R垂直于直线A₁P于R，设A₂R与曲线C交于Q，求直线PQ斜率的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）y=

4-x2

2

两边平方后移项得

x2

4

+y2=1，y≥0，可得函数的图象，曲线C与x轴的左、右交点A₁，A₂；
（Ⅱ）先考察一般性，直线A₁P的方程是y=k（x+a），与椭圆方程联立，求得P，Q的坐标，可得直线PQ斜率，即可求出取值范围．

解答： 解：（I）y=

4-x2

2

两边平方后移项得

x2

4

+y2=1，y≥0，
所以曲线C是焦点在x轴上的椭圆的上半部分，A₁，A₂是椭圆的左右顶点，如图．
（Ⅱ）为了减少计算量，先考察一般性．
设曲线C的方程是

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0，y≥0)，直线A₁P的斜率是k，
因为P是曲线C上位于第一象限内的任意一点，所以k∈(0，

b

a

)，…（5分）
设P，Q的坐标分别是（x₁，y₁），（x₂，y₂），则直线A₁P的方程是y=k（x+a），
由

x2 a2 + y2 b2 =1 y=k(x+a)

消去y得，（a²k²+b²）x²+2a³k²x+a²（a²k²-b²）=0，…（7分）
解得

x1= a(b2-a2k2) b2+a2k2 y1= 2ab2k b2+a2k2

．…（8分）
将上式中的a换成-a，k换成-

1

k

得

x2= a(a2-b2k2) a2+b2k2 y2= 2ab2k a2+b2k2

．…（9分）
又上式中的a=2，b=1，代入可解得

x1= 2(1-4k2) 1+4k2 y1= 4k 1+4k2

，

x2= 2(4-k2) 4+k2 y2= 4k 4+k2

，…（10分）
所以kPQ=

y1-y2

x1-x2

=

1

5

(k-

1

k

)，
因为g(k)=k-

1

k

在(0，

1

2

)上单调递增，所以kPQ∈(-∞，-

3

10

)．…（12分）

点评：本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查斜率的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．