题目内容
如图，椭圆| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
（1）求此椭圆的离心率；
（2）求证：以线段MN为直径的圆过点F2．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（1）由题意知a-c，2c，a+c成等比数列，由此能求出e=
=
，
（2）由e=
=
，椭圆过点（0，2），由此求出b=2，解得a=
，c=1，由此利用已知条件能证明以线段MN为直径的圆过点F2．
| c |
| a |
| ||
| 5 |
（2）由e=
| c |
| a |
| ||
| 5 |
| 5 |
解答：
解：（1）由题意知a-c，2c，a+c成等比数列，
∴（2c）2=（a+c）（a-c），
解得e=
=
，
（2）由e=
=
，椭圆过点（0，2），
∴b=2，解得a=
，c=1，
设P（x0，y0），由题意lPA：y=
（x+
），
直线lPB：y=
(x-
)，
解得M（5，
），N（5，
），
F2M•F2N=0，
故以线段MN为直径的圆过点F2．
∴（2c）2=（a+c）（a-c），
解得e=
| c |
| a |
| ||
| 5 |
（2）由e=
| c |
| a |
| ||
| 5 |
∴b=2，解得a=
| 5 |
设P（x0，y0），由题意lPA：y=
| y0 | ||
x0+
|
| 5 |
直线lPB：y=
| y0 | ||
x0-
|
| 5 |
解得M（5，
y0(5+
| ||
x0+
|
y0(5-
| ||
x0-
|
F2M•F2N=0，
故以线段MN为直径的圆过点F2．
点评：本题考查椭圆离心率的求法，考查以线段MN为直径的圆过点F2的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．
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新思维假期作业暑假吉林大学出版社系列答案
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