题目内容
已知椭圆C的中心在原点O，其右焦点为F（1，0），长轴长为4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）斜率为1的直线l经过点F，交椭圆C于M，N两点，P为椭圆位于第四象限上一点，且OP⊥MN，求四边形OMPN的面积．
（1）求椭圆C的方程；
（2）斜率为1的直线l经过点F，交椭圆C于M，N两点，P为椭圆位于第四象限上一点，且OP⊥MN，求四边形OMPN的面积．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）利用椭圆右焦点为F（1，0），长轴长为4，求出几何量，即可求椭圆C的方程；
（2）直线l的方程为y=x-1，与椭圆方程联立，利用韦达定理，计算|MN|，求出|OP|，即可求四边形OMPN的面积．
（2）直线l的方程为y=x-1，与椭圆方程联立，利用韦达定理，计算|MN|，求出|OP|，即可求四边形OMPN的面积．
解答：
解；（1）由题意c=1，2a=4
．∴a=2，b2=a2-c2=3，
∴椭圆C的方程
+
=1
（2）直线l的方程为y=x-1，设M（x1，y1），N（x1，y2），P（x0，y0），
∴
，∴7x2-8x-8=0，∴x1+x2=
，x1x2=
，|MN|=
=
，
OP所在直线为y=-x，∴
，∴x2=
，
|OP|2
+
=
，
S四边形OMPN=
|MN|•|OP|=
•
•
=
．
．∴a=2，b2=a2-c2=3，
∴椭圆C的方程
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（2）直线l的方程为y=x-1，设M（x1，y1），N（x1，y2），P（x0，y0），
∴
|
| 8 |
| 7 |
| 8 |
| 7 |
| (1+12)[(x1+x2)2-4x1x2] |
| 24 |
| 7 |
OP所在直线为y=-x，∴
|
| 12 |
| 7 |
|OP|2
| =x | 2 0 |
| y | 2 0 |
| 24 |
| 7 |
S四边形OMPN=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 24 |
| 7 |
|
24
| ||
| 49 |
点评：本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知i为虚数单位，z=
，且z的共轭复数为
，则
=（ ）
| 1 |
| 1-i |
. |
| z |
. |
| z |
A、
| ||
B、
| ||
| C、1+i | ||
| D、1-i |
设函数y=