Question

设M为抛物线C：x²=4py（p＞0）准线上的任意一点，过点M作曲线C的两条切线，设切点为A、B．
（Ⅰ）直线AB是否过定点？如果是，求出该定点，如果不是，请说明理由；
（Ⅱ）当直线MA，MF，MB的斜率均存在时，求证：直线MA，MF，MB的斜率的倒数成等差数列．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）设M（m，-p），两切点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由x²=2py，得y=

1

4p

x2，求导得两条切线方程为y-y₁=

1

2p

x1(x-x1)，y-y2=

1

2p

x2(x-x2)，从而求出x₁，x₂为方程x²-2mx-4p²=0的两根，由此能求出直线恒过定点（0，p）．
（Ⅱ）设M（m，-p），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x1+x2=2m，x1x2=-4p2，由此能证明直线MA，MF，MB的斜率倒数成等差数列．

解答： （Ⅰ）解：设M（m，-p），两切点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由x²=2py，得y=

1

4p

x2，求导得y′=

1

2p

x．
∴两条切线方程为y-y₁=

1

2p

x1(x-x1)，①
y-y2=

1

2p

x2(x-x2)，②…2分
对于方程①，代入点M（m，-p）得，-p-y₁=

1

2p

x1(m-x1)，
又y1=

1

4p

x12，
∴-p-

1

4p

x12=

1

2p

x1(m-x1)，
整理得：x12-2mx1-4p2=0，
同理对方程②有x22-2mx2-4p2=0，
即x₁，x₂为方程x²-2mx-4p²=0的两根．
∴x₁+x₂=2m，x₁x₂=-4p²，③…4分
设直线AB的斜率为k，k=

y2-y1

x2-x1

=

x22-x12

4p(x2-x1)

=

1

4p

(x1+x2)，
∴直线AB的方程为y-

x12

4p

=

1

4p

(x1+x2)(x-x1)，
展开得：y=

1

4p

（x₁+x₂）x-

x1x2

4p

，
代入③得：y=

m

2p

x+p，∴直线恒过定点（0，p）．…6分
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）的结论，设M（m，-p），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
且有x1+x2=2m，x1x2=-4p2，
∴kMA=

y1+p

x1-m

，kMB=

y2+p

x2-m

，
∴

1

kMA

+

1

kMB

=

x1-m

y1+p

+

x2-m

y2+p

=

x1-m

x12 4p +p

+

x2-m

x22 4p +p

=

4p(x1-m)

x12+4p2

+

4p(x2-m)

x22+4p2

=

4p(x1-m)

x12-x1x2

+

4p(x2-m)

x22-x1 x2

=

4p(x1-m)x2-4p(x2-m)x1

x1 x2(x1-x2)

=

4pm

x1x2

=

4pm

-4p2

=-

m

p

，
又∵

1

kMP

=

m

-p-p

=-

m

2p

，
∴

1

kMA

+

1

kMB

=

2

kMP

．
即直线MA，MF，MB的斜率倒数成等差数列．…13分

点评：本题考查直线是否恒过定点的判断，考查三条直线的斜率倒数成等差数列的证明，考查圆锥曲线切线，直线过定点，圆锥曲线计算能力等，是难题．