Question

已知为双曲线的左、右焦点．
（Ⅰ）若点为双曲线与圆的一个交点，且满足，求此双曲线的离心率；
（Ⅱ）设双曲线的渐近线方程为，到渐近线的距离是，过的直线交双曲线于A，B两点，且以AB为直径的圆与轴相切，求线段AB的长．

Answer 1

（Ⅰ）； （Ⅱ）。

试题分析：（Ⅰ）由题设得：，又,
∴，故离心率
（Ⅱ）∵双曲线的渐近线方程为，到渐近线的距离是，
∴ ，双曲线方程为，，离心率，
设，∴，同理，
∵ 以AB为直径的圆与轴相切，∴
，∴．
点评：直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．