题目内容
(本小题满分14分)在平面直角坐标系中,已知点,过点作抛物线的切线,其切点分别为(其中)。
⑴ 求的值;
⑵ 若以点为圆心的圆与直线相切,求圆的面积。
⑴ 求的值;
⑵ 若以点为圆心的圆与直线相切,求圆的面积。
⑴,;⑵圆的面积为 。
试题分析:(Ⅰ)由y=x2先求出y′=2x.再由直线PM与曲线T0相切,且过点P(1,-1),得到x1=1-,或x1=1+;同理可得x2=1-,或x2=1+,然后由x1<x2知x1=1-,x2=1+.
(Ⅱ)由题意知,x1+x2=2,x1•x2=-1,则直线MN的方程为:2x-y+1=0.再由点P到直线MN的距离即为圆E的半径,可求出圆E的面积.
解:⑴由可得, ……1分
∵直线与曲线相切,且过点,∴,即,
即, ……3分 ∴, ……5分
同理可得 ……6分
∵ ∴, ……7分
⑵由⑴知,
……9分
直线方程为:, 即 ……11分
……13分 故圆的面积为 ……14分
点评:解决该试题的关键是能运用导数的几何意义得到切点的坐标,并能利用韦达定理,得到直线方程,点到直线的距离公式得到圆的半径求解其面积。
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