Question

2．如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，$AC=\sqrt{2}DC$．
（Ⅰ）若BD=2DC=2，求AD；
（Ⅱ）若AB=AD，求：sinB．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知利用勾股定理可求AB，求得cosB，进而利用余弦定理可求AD的值．
（Ⅱ）在△ADC中，由正弦定理及已知可求$\frac{{\sqrt{2}DC}}{sinB}=\frac{DC}{sin（B-C）}$，又$B=\frac{π}{2}-C$，即可解得sinB的值．

解答 解：（Ⅰ）∵D是直角△ABC斜边BC上一点，$AC=\sqrt{2}DC$，BD=2DC=2，
∴AB=$\sqrt{B{C}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∴cosB=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{\sqrt{7}}{3}$，
∴AD=$\sqrt{A{B}^{2}+B{D}^{2}-2AB•AD•cosB}$=$\sqrt{7+4-2×\sqrt{7}×2×\frac{\sqrt{7}}{3}}$
=$\frac{\sqrt{15}}{3}$．
（Ⅱ）在△ADC中，$\frac{AC}{sin∠ADC}=\frac{DC}{sin∠CAD}$即$\frac{{\sqrt{2}DC}}{sinB}=\frac{DC}{sin（B-C）}$，
而$B=\frac{π}{2}-C$，
∴$\frac{{\sqrt{2}}}{sinB}=\frac{1}{{sin（2B-\frac{π}{2}）}}$，
∴-$\sqrt{2}$cos2B=sinB，
∴$2\sqrt{2}si{n}^{2}B-sinB-\sqrt{2}$=0，
解得$sinB=\frac{{\sqrt{2}+\sqrt{34}}}{8}$．

点评 本题主要考查了勾股定理，余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于基础题．