Question

14．有编号为D₁，D₂，…，D₁₀的10个零件，测量其直径（单位：mm），得到下面数据：
其中直径在区间（148，152]内的零件为一等品．

编号	D1	D2	D3	D4	D5	D6	D7	D8	D9	D10
直径	151	148	149	151	149	152	147	146	153	148

（1）从上述10个零件中，随机抽取2个，求这2个零件均为一等品的概率；
（2）从一等品零件中，随机抽取2个．用ξ表示这2个零件直径之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （1）由所给数据可知，10个零件中一等品零件共有5个．从上述10个零件中，随机抽取2个，基本事件总数n=${C}_{10}^{2}$，2个零件均为一等品包含的基本事件个数m=${C}_{5}^{2}$，由此能求出这2个零件均为一等品的概率．
（2）ξ的可能取值为：0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望Eξ．

解答 （本题满分12分）
解：（1）由所给数据可知，10个零件中一等品零件共有5个．（1分）
设“从上述10个零件中，随机抽取2个，2个零件均为一等品”为事件A，
则$P（A）=\frac{C_5^2}{{C_{10}^2}}=\frac{2}{9}$．（4分）
（2）∵ξ的可能取值为：0，1，2，3，（5分）
且$P（ξ=0）=\frac{2}{C_5^2}=\frac{1}{5}$，
$P（ξ=1）=\frac{2}{C_5^2}=\frac{1}{5}$，
$P（ξ=2）=\frac{4}{C_5^2}=\frac{2}{5}$，
$P（ξ=3）=\frac{2}{C_5^2}=\frac{1}{5}$--（9分）
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P（ξ）	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{2}{5}$	$\frac{1}{5}$

∴ξ数学期望Eξ=$0×\frac{1}{5}+1×\frac{1}{5}+2×\frac{2}{5}+3×\frac{1}{5}$=$\frac{8}{5}$．（12分）

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查整体思想、转化化归思想，考查数据处理能力和运用意识，是中档题．