Question

17．若双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1与椭圆$\frac{x^2}{m^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（m＞b＞0）的离心率之积等于1，则以a，b，m为边长的三角形一定是（　　）

• A． 等腰三角形
• B． 钝角三角形
• C． 锐角三角形
• D． 直角三角形

Answer 1

分析 求出椭圆与双曲线的离心率，利用离心率互为倒数，推出a，b，m的关系，判断三角形的形状．

解答 解：∵双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1的离心率e₁=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}{a}$，
椭圆$\frac{x^2}{m^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1的离心率e₂=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{m}^{2}-{b}^{2}}}{m}$，
由e₁•e₂=1，即$\frac{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}{a}$•$\frac{\sqrt{{m}^{2}-{b}^{2}}}{m}$=1，
∴a²m²=（a²+b²）（m²-b²）
∴a²+b²=m²
故选D．

点评 本题考查双曲线的标准方程，椭圆的标准方程，及双曲线与椭圆的几何性质离心率的求法，考查计算能力，属于基础题．