Question

定义“[x]”，其中[x]表示不超过x的最大整数，记函数f（x）=[x[x]]，x∈R．
（1）若集合A={x|[x]²-2[x]-3≤0}，B={x||f（x）-1|≤1}，求集合A，B；
（2）当x∈[0，2ⁿ），n∈N^*时，记函数f（x）的值域中的元素个数为a_n，求证：

1

a1-1

+

1

a2-1

+…+

1

an-1

＜

11

9

，n∈N^*．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：函数的性质及应用,不等式

分析：（1）首先求出集合A的解集，对集合B进行分类讨论求的结果
（2）结合实际对关系式，利用叠加法和放缩法对不等式进行证明．

解答： 解：（1）A={x|[x]²-2[x]-3≤0}
则：[x]²-2[x]-3≤0
-1≤[x]≤3
A=[-1，4）
B={x||f（x）-1|≤1}
|f（x）-1|≤1即0≤[x[x]]≤2
下面分区间进行分析：
①当x∈[0，1）时
[x]=0∴[x[x]]=0满足条件，故x∈[0，1）
②当x∈[1，2）时，[x]=1
[x[x]]=1满足条件，故x∈[1，2）
③当x∈[2，+∞）时，[x]≥2
x[x]≥2x≥4
[x[x]]≥4不满足条件，故此时无解
④当x∈[-1，0）时，[x]=-1
x[x]=-x∈（0，1]
[x[x]]=0满足条件，故x∈[-1，0）可以成立．
⑤当x∈[-2，-1）时，[x]=-2
x[x]=-2x∈（2，4]，为使[x[x]]≤2，则必须且只需-2x∈（2，3），即x∈（-

3

2

，-1)
此时解集为：x∈（-

3

2

，-1)
⑥当x∈（-∞，-2）时，[x]≤-3
x[x]＞6即[x[x]]≥6不满足条件，故此时无解
综上所述：B=（-

3

2

，2）
（2）先研究x∈[0，n]时函数f（x）的值域中的个数记为b_n，下面研究b_n的递推关系
当x∈[n，n+1]时，[x]=n，x[x]=nx∈[n²，n²+n）
（2）先研时函的值域中的元素个数，记，下研的递推关系：其含有n²+n-n²=n个正整数
故b_n+1=b_n+n 由（1）知b₁=1，利用叠加法可得：
b_n=（n-1）+…+2+1+1=

n2-n+2

2

即当x∈[0，n）时，函数f（x）的值域中的个数为

n2-n+2

2

于是当x∈[0，2ⁿ]时，函数f（x）的值域中的元素的个数为
于是当an=22n-1+2n-1+1
于是：

1

an-1

-

1

22n-1-2n-1

-

1

2n-1(2n-1)

-

1

2n-1(2n-1+2n-1-1)

≤

1

2n-1(2n-1+2n-2)

-

8

3

-

1

4n

第一项不动，从第二项起，利用上式放缩得：

1

a1-1

+

1

a2-1

+…+

1

an-1

≤+

8

3

-(

1

42

+

1

43

+…+

1

4n

)=1+

2

9

(1-

1

4n-1

)1+

2

9

=

11

9

（n∈N⁺）

点评：本题考查的知识点：信息函数的应用，分类讨论思想在实际问题中的应用，叠加法的应用，放缩法在不等式中的应用．