Question

9．已知符号函数sgn（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-1，（x＜0）}\\{0，（x=0）}\\{1，（x＞0）}\end{array}\right.$．
（1）sgn（2^x）=1；
（2）设a=$\frac{1}{lo{g}_{\frac{1}{2}}\frac{1}{3}}$+$\frac{1}{lo{g}_{\frac{1}{5}}\frac{1}{3}}$，b=3，则$\frac{a+b+（a-b）•sgn（a-b）}{2}$的值为3．

Answer 1

分析 （1）由?x∈R，即可得出sgn（2^x）．
（2）a=$\frac{1}{lo{g}_{\frac{1}{2}}\frac{1}{3}}$+$\frac{1}{lo{g}_{\frac{1}{5}}\frac{1}{3}}$=log₃10，b=3，可得a-b＜0，可得sgn（a-b）=-1．即可得出．

解答 解：（1）∵?x∈R，∴sgn（2^x）=1．
（2）a=$\frac{1}{lo{g}_{\frac{1}{2}}\frac{1}{3}}$+$\frac{1}{lo{g}_{\frac{1}{5}}\frac{1}{3}}$=$\frac{1}{lo{g}_{2}3}$+$\frac{1}{lo{g}_{5}3}$=log₃2+log₃5=log₃10，b=3，
a-b=log₃10-3＜0，∴sgn（a-b）=-1．
则$\frac{a+b+（a-b）•sgn（a-b）}{2}$=$\frac{lo{g}_{3}10+3+（lo{g}_{3}10-3）•（-1）}{2}$=3．
故答案分别为：1；3．

点评 本题考查了新定义、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．