Question

6．已知函数f（x）=ax²+（b-8）x-a-ab（a≠0），当x∈（-3，2）时f（x）＞0，当x∈（-∞，-3）∪（2，+∞）时f（x）＜0，若不等式ax²+bx+c≤0在[1，4]上恒成立，则c∈（　　）

• A． （-∞，-2]
• B． （-∞，-$\frac{25}{12}$]
• C． （-∞，50]
• D． （-∞，-1]

Answer 1

分析 根据题意可得，x=-3和x=-2是方程ax²+（b-8）x-a-ab=0的两个根，求出a=-3，b=5；-3x²+5x+c≤0在[1，4]上恒成立即：c≤3x²-5x在[1，4]上恒成立；

解答 解：根据题意可得，x=-3和x=-2是方程ax²+（b-8）x-a-ab=0的两个根，且a＜0；
利用韦达定理可得-3+2=-$\frac{8-b}{a}$，-3×2=$\frac{-a-ab}{a}$，
求得：a=-3，b=5；
故函数f（x）=-3$（x+\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{75}{4}$，
不等式ax²+bx+c≤0即：-3x²+5x+c≤0，
-3x²+5x+c≤0在[1，4]上恒成立即：c≤3x²-5x在[1，4]上恒成立；
令h（x）=3x²-5x，x∈[1，4]，h（x）的最小值为：h（1）=-2；
故c≤-2．
故选：A．

点评 本题主要考查了二次函数根与韦达定理、分类参数法求函数最值等知识点，属基础题．