题目内容
如图，已知抛物线的方程为x2=2py（p＞0），过点A（0，-1）作直线l与抛物线相交于P，Q两点，点B的坐标为（0，1），连接BP，BQ，设QB，BP与x轴分别相交于M，N两点．如果QB的斜率与PB的斜率的乘积为-3，则∠MBN的大小等于考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：设直线PQ的方程为：y=kx-1，P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线PQ方程与抛物线方程消掉y得x的二次方程，根据韦达定理及斜率公式可求得kBP+kBQ=0，再由已知kBP•kBQ=-3，可解kBP=
kBQ=-
，由此可知∠BNM与∠BMN的大小，由三角形内角和定理可得∠MBN．
| 3 |
| 3 |
解答：
解：设直线PQ的方程为：y=kx-1，P（x1，y1），Q（x2，y2），
由
，得x2-2pkx+2p=0，△＞0，
则x1+x2=2pk，x1x2=2p，kBP=
，kBQ=
，
kBP+kBQ=
+
=
=
=0，即kBP+kBQ=0①
又kBP•kBQ=-3②，
联立①②解得kBP=
，kBQ=-
，
所以∠BNM=
，∠BMN=
，
故∠MBN=π-∠BNM-∠BMN=
．
故答案为：
．
由
|
则x1+x2=2pk，x1x2=2p，kBP=
| y1-1 |
| x1 |
| y2-1 |
| x2 |
kBP+kBQ=
| kx1-2 |
| x1 |
| kx2-2 |
| x2 |
=
| 2kx1x2-2(x1+x2) |
| x1x2 |
=
| 2k•2p-2•2pk |
| 2p |
又kBP•kBQ=-3②，
联立①②解得kBP=
| 3 |
| 3 |
所以∠BNM=
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
故∠MBN=π-∠BNM-∠BMN=
| π |
| 3 |
故答案为：
| π |
| 3 |
点评：本题考查直线、抛物线方程及其位置关系等知识，解决本题的关键是通过计算发现直线BP、BQ斜率互为相反数．
练习册系列答案
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，f（1）=1，（n∈N*），猜想f（n）的表达式为（ ）
| 2f(n) |
| f(n)+2 |
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|