Question

给出下列命题：
①底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；
②若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；
③一个棱锥可以有两条侧棱和底面垂直；
④一个棱锥可以有两个侧面和底面垂直；
⑤所有侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体．
其中正确的命题是（　　）

• A、①②③
• B、①③
• C、②③④
• D、④

Answer 1

考点：棱柱的结构特征,棱锥的结构特征

专题：空间位置关系与距离

分析：①底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥不一定是正三棱锥；
②当有两个侧面垂直于底面时，该四棱柱不一定为直四棱柱；
③一个棱锥不能有两条侧棱和底面垂直；
④一个棱锥可以有两个侧面和底面垂直；
⑤所有侧面都是正方形的四棱柱不一定是正方体．

解答： 解：对于①，底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥不一定是正三棱锥，
如图所示，
若AB=BC=AC=VA，且VA⊥平面ABC，但三棱锥V-ABC表示正三棱锥，∴①错误；
对于②，当有两个侧面垂直于底面时，该四棱柱不一定为直四棱柱，
如两个侧面不是相邻的时，侧棱与底面不一定垂直，∴②错误；
对于③，一个棱锥不能有两条侧棱和底面垂直，否则，这两条侧棱互相平行，∴③错误；
对于④，一个棱锥可以有两个侧面和底面垂直，如①中图形，∴④正确；
对于⑤，所有侧面都是正方形的四棱柱不一定是正方体，
∵各相邻侧面并不一定都互相垂直，∴⑤错误．
综上，正确的命题是④．
故选：D．

点评：本题考查了空间中的柱、锥、体的结构特征的应用问题，解题时应对每一个命题进行分析判断，是综合题目．