Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2a-c）cosB=bcosC．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）已知函数f（A，C）=cos²

A

2

+sin2

C

2

-1，求f（A，C）的取值范围．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后求出cosB的值，即可确定出角B的大小；
（Ⅱ）函数解析式利用二倍角的余弦函数公式化简，由B的度数得到A+C的度数，用C表示出A，代入计算，利用余弦函数的值域确定出范围即可．

解答： 解：（Ⅰ）已知等式（2a-c）cosB=bcosC，利用正弦定理化简得：（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
即2sinAcosB=sinCcosB+cosCsinB=sin（B+C）=sinA，
∵sinA≠0，∴cosB=

1

2

，
则B=60°；
（Ⅱ）函数f（A，C）=

1+cosA

2

+

1-cosC

2

-1=

cosA-cosC

2

=

cosA-cos(120°-A)

2

=

3

2

（

3

2

cosA-

1

2

sinA）=

3

2

cos（A+30°），
∵0＜A＜120°，即30°＜A+30°＜150°，
∴-

3

2

＜cos（A+30°）＜

3

2

，即-

3

4

＜

3

2

cos（A+30°）＜

3

4

，
则f（A，C）的范围为（-

3

4

，

3

4

）．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，二倍角的余弦函数公式，以及余弦函数的定义域与值域，熟练掌握定理是解本题的关键．