Question

已知函数f（x）=

1+x

-x．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）若g（x）=

1-x

+x，试判断F（x）=lg

f(x)

g(x)

的奇偶性；
（3）若函数y=f（ax）在区间（-1，1）上存在零点，求实数a的范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数的值域,函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：（1）令t=

1+x

，t≥0，则x=t²-1，利用换元法，结合二次函数的图象和性质，可得函数的值域；
（2）由已知可得F（x）=lg

f(x)

g(x)

=lg（

1+x

-x）-lg（

1-x

+x），进而可得F（-x）=-F（x），进而根据奇函数的定义，可得：F（x）=lg

f(x)

g(x)

为奇函数；
（3）根据函数y=f（ax）在区间（-1，1）上存在零点，可得方程

1+ax

-ax=0在区间（-1，1）上有根，即方程a²x²-ax-1=0在区间（-1，1）上有根，求出方程的根，构造关于a的不等式，解得实数a的范围．

解答： 解：（1）令t=

1+x

，t≥0，则x=t²-1，
∴y=f（x）=

1+x

-x=-t²+t+1，
当t=

1

2

时，函数取最大值

5

4

，无最小值，
故函数f（x）的值域为（-∞，

5

4

]；
（2）∵g（x）=

1-x

+x，
∴F（x）=lg

f(x)

g(x)

=lg

1+x -x

1-x +x

=lg（

1+x

-x）-lg（

1-x

+x），
∴F（-x）=lg（

1-x

+x）-lg（

1+x

-x）=-[lg（

1+x

-x）-lg（

1-x

+x）=-F（x），
∴F（x）=lg

f(x)

g(x)

为奇函数，
（3）函数y=f（ax）在区间（-1，1）上存在零点，
则方程

1+ax

-ax=0在区间（-1，1）上有根，
即方程1+ax=a²x²在区间（-1，1）上有根，
即方程a²x²-ax-1=0在区间（-1，1）上有根，
即

1+ 5

2a

∈（-1，1），或

1- 5

2a

∈（-1，1），
解得：a∈（-∞，-

5 -1

2

）∪（

5 -1

2

，+∞）．

点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的判断，函数的值域，函数零点的判定定理，难度较大，属于难题．