Question

10．在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+2与圆O：x²+y²=1交于A，B两点，若圆O上存在点C满足$\overrightarrow{OC}$=cosα•$\overrightarrow{OA}$+sinα•$\overrightarrow{OB}$，其中α为锐角，则k的值为±$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 设出A，B，C的坐标，由$\overrightarrow{OC}$=cosα•$\overrightarrow{OA}$+sinα•$\overrightarrow{OB}$，把C的坐标用A，B的坐标表示，代入圆的方程，可得x₁x₂+y₁y₂=0，说明$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0，求得圆心O到直线y=kx+2的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．再由点到直线的距离公式列式求得k值．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₀，y₀），
由$\overrightarrow{OC}$=cosα•$\overrightarrow{OA}$+sinα•$\overrightarrow{OB}$，
得（x₀，y₀）=cosα（x₁，y₁）+sinα（x₂，y₂）=（x₁cosα+x₂sinα，y₁cosα+y₂sinα），
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}={x}_{1}cosα+{x}_{2}sinα}\\{{y}_{0}={y}_{1}cosα+{y}_{2}sinα}\end{array}\right.$，
代入${{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}=1$，得$（{x}_{1}cosα+{x}_{2}sinα）^{2}+（{y}_{1}cosα+{y}_{2}sinα）^{2}=1$．
整理得：sin2α（x₁x₂+y₁y₂）=0，
∵α为锐角，∴sin2α≠0，则x₁x₂+y₁y₂=0，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0，则圆心O到直线y=kx+2的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
由$\frac{|2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得：k=$±\sqrt{7}$．
故答案为：$±\sqrt{7}$．

点评 本题考查平面向量的基本定理及其意义，考查了点到直线距离公式的应用，体现了数学转化思想方法，是中档题．