Question

15．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”外接球的体积为$\frac{8\sqrt{2}π}{3}$．

Answer 1

分析 根据三视图的关系得出俯视图的边长，外接圆圆心为俯视图的中心，故俯视图对角线为外接球的直径，从而可得球的体积．

解答 解：由三视图可知直三棱柱的底面斜边的高为1，斜边长为2，
∴俯视图矩形为边长为2的正方形，
∵直三棱柱的底面是直角三角形，
∴外接球的球心为俯视图的中心，
故外接球半径R=$\frac{1}{2}×\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴外接球的体积V=$\frac{4}{3}π×（\sqrt{2}）^{3}$=$\frac{8\sqrt{2}π}{3}$．
故答案为$\frac{8\sqrt{2}π}{3}$．

点评 本题考查了棱柱与球的位置关系，几何体的三视图与体积计算，属于中档题．