Question

4．把函数y=sin2x的图象沿着x轴向左平移$\frac{π}{6}$个单位，纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）后得到函数y=f（x）的图象，对于函数y=f（x）有以下四个判断：
（1）该函数的解析式为$y=2sin（2x+\frac{π}{6}）$；
（2）该函数图象关于点$（\frac{π}{3}，0）$对称；
（3）该函数在$[0，\frac{π}{6}]$上是增函数；
（4）若函数y=f（x）+a在$[0，\frac{π}{2}]$上的最小值为$\sqrt{3}$，则$a=2\sqrt{3}$
其中正确的判断有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得f（x）的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，的得出结论．

解答 解：把函数y=sin2x的图象沿着x轴向左平移$\frac{π}{6}$个单位，可得y=sin（2x+$\frac{π}{3}$）的图象；
再把纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）后得到函数y=f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）的图象，
对于函数y=f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
故选项A不正确，故（1）错误；
由于当x=$\frac{π}{3}$时，f（x）=0，故该函数图象关于点$（\frac{π}{3}，0）$对称，故（2）正确；
在$[0，\frac{π}{6}]$上，2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，故f（x）该函数在[0，$\frac{π}{2}$]上不是增函数，故（3）错误；
在$[0，\frac{π}{2}]$上，2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，故当2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{4π}{3}$时，
f（x）+a该函数在$[0，\frac{π}{6}]$上取得最小值为-$\sqrt{3}$+a=$\sqrt{3}$，∴a=2$\sqrt{3}$，故（4）正确，
故选：B．

点评 本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．