一汽车销售公司对开业5年来某种型号的汽车“五一优惠金额与销售量之间的关系进行分析研究并做了记录.得到如下资料．日期第1年第2年第3年第4年第5年优惠金额x101113128销售量y(辆)2325302616该公司所确定的研究方案是:先从这5组数据中选取2组.用剩下的3组数据求线性回归方程.再对被选取的2组数据进行检验．(1)若选取的是第1年与第5年� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

7．一汽车销售公司对开业5年来某种型号的汽车“五一”优惠金额与销售量之间的关系进行分析研究并做了记录，得到如下资料．

日期	第1年	第2年	第3年	第4年	第5年
优惠金额x（千元）	10	11	13	12	8
销售量y（辆）	23	25	30	26	16

该公司所确定的研究方案是：先从这5组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．
（1）若选取的是第1年与第5年的两组数据，请根据其余三年的数据，求出y关于x的线性回归方程$\hat y=\hat bx+\hat a$；
（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2辆，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠？
相关公式：$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{{x_i}-\overline x}）（{{y_i}-\overline y}）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{{x_i}-\overline x}）}^2}}}}$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}$，$\hat a=\overline y-\hat b\overline x$．

分析（1）根据表中数据计算$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出回归系数，写出线性回归方程；
（2）由（1）中线性回归方程求出x=10时与x=8时y的值，比较误差即可．

解答解：（1）根据表中数据，计算$\overline{x}$=$\frac{1}{3}$×（11+13+12）=12，
$\overline{y}$=$\frac{1}{3}$×（25+30+26）=27，
$\sum_{i=1}^{3}$x_iy_i=（11×25+13×30+12×26）=977，
$\sum_{i=1}^{3}$${{x}_{i}}^{2}$=11²+13²+26²=434，
∴$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^3{{x_i}{y_i}-3\overline x•\overline y}}}{{\sum_{i=1}^3{x_i^2-3{{\overline x}^2}}}}$=$\frac{977-3×12×27}{{434-3×{{12}^2}}}=2.5$，
$\hat a=\overline y-\hat b\overline x$=27-2.5×12=-3，
∴线性回归方程是$\hat y=2.5x-3$；
（2）由（1）知：当x=10时，y=2.5×10-3=22，误差不超过2辆；
当x=8时，y=2.5×8-3=17，误差不超过2辆；
故所求得的线性回归方程是可靠的．