Question

已知偶函数f（x）的定义域为[-1，1]，且f（-1）=1，若对任意x₁，x₂∈[-1，0]，x₁≠x₂，都有

f(x1)-f(x2)

x2-x1

＞0成立．
（1）解不等式f(x+

1

2

)＜f(x-1)；
（2）若f（x）≤t²-2at+1对x∈[-1，1]和a∈[-1，1]恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据题意得f（x）在[-1，0]上单调递减，又f（x）是偶函数，则f（x）=f（-|x|），由此得

-1≤x+ 1 2 ≤1 -1≤x-1≤1 -|x+ 1 2 |＞-|x-1|

从而解得x范围；
（2）由不等式恒成立的条件求实数t的取值范围．

解答： 解：（1）由对任意x₁，x₂∈[-1，0]，x₁≠x₂，都有

f(x1)-f(x2)

x2-x1

＞0成立知，f（x）在[-1，0]上单调递减，
又f（x）是偶函数，则f（x）=f（-|x|），
所以f(x+

1

2

)＜f(x-1)?f(-|x+

1

2

|)＜f(-|x-1|)?

-1≤x+ 1 2 ≤1 -1≤x-1≤1 -|x+ 1 2 |＞-|x-1|

?0≤x≤

1

4

，
故不等式f(x+

1

2

)＜f(x-1)的解集为[0，

1

4

)．
（2）由已知f_max（x）=f（-1）=1，又f（x）≤t²-2at+1对x∈[-1，1]和a∈[-1，1]恒成立，
所以1≤t²-2at+1?2at-t²≤0，在a∈[-1，1]上恒成立，
只需

-2t-t2≤0 2t-t2≤0

，即t=0或t≤-2或t≥2，
所以实数t的取值范围是（-∞，-2]∪{0}∪[2，+∞）．

点评：本题主要考查函数的奇偶性；单调性；不等式解法；不等式恒成立问题．综合性较强，有一点的难度．