Question

定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=x²-2x
（1）当x∈[-4，-2]时，求f（x）的解析式；
（2）当x∈[-4，-2]时，f（x）≥

1

2

(

3

t

-t)恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数的周期性

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）先设x∈[-4，-2]，则x+4∈[0，2]，结合已知当x∈[0，2]时，f（x）=x²-2x可求f（x+4），由f（x+4）=f（x+2）=f（x），代入可求f（x）；
（2）由x∈[-4，-2]时，f（x）=x²+6x+8=（x+3）²-1，结合而成函数的性质可求f（x）的最小值，而由f（x）≥

1

2

(

3

t

-t)恒成立，可得f（x）_min≥

1

2

(

3

t

-t)，解不等式可求t的范围．

解答： 解：（1）设x∈[-4，-2]，则x+4∈[0，2]，
∵当x∈[0，2]时，f（x）=x²-2x，
∴f（x+4）=（x+4）²-2（x+4）=x²+6x+8，
又∵f（x+2）=f（x），
∴f（x+4）=f（x+2）=f（x），
∴f（x）=x²+6x+8；
（2）∵x∈[-4，-2]时，f（x）=x²+6x+8=（x+3）²-1，
当x=-3时，f（x）_min=f（-3）=-1
则由f（x）≥

1

2

(

3

t

-t)恒成立，可得-1≥

1

2

(

3

t

-t)恒成立，
整理可得，

(t+1)(t-3)

t

≤0
∴-1≤t＜0或t≥3．

点评：本题主要考查了利用已知抽象函数的关系求解函数的解系式，解题的关键是由已知推出f（x+4）=f（x），而函数的恒成立问题往往转化为函数的最值的求解，属于中档题．