Question

已知等差数列{a_n}的公差d不等于0，S_n是其前n项和，给出下列命题：
①给定n（n≥2，且n∈N^*），对于一切k∈N^*（k＜n），都有a_n-k+a_n+k=2a_n成立；
②存在k∈N^*，使得a_k-a_k+1与a_2k+1-a_2k-3同号；
③若d＞0．且S₃=S₈，则S₅与S₆都是数列{S_n}中的最小项
④点（1，

S1

1

），（2，

S2

2

），（3，

S3

3

），…，（n，

Sn

n

）（n∈N^*），…，在同一条直线上．
其中正确命题的序号是

 

．（把你认为正确的命题序号都填上）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列,简易逻辑

分析：由等差中项的性质，即可判断①的正误；
由等差数列的定义，即可判断②的正误；
由求和公式，推出a₆=0，得a₁＜0，d＞0，即可判断③的正确；
要证明这些点都在一条直线上，就要找出这些点都过一点和斜率固定的直线方程，得到每一个点与第一个点所求的斜率为定值，即可判断④的正误；

解答： 解：对于①，由等差中项的性质，可得给定n，对于一切k∈N₊（k＜n），都有a_n-k+a_n+k=2a_n，故①正确；
对于②，a_k-a_k+1和a_k-a_k-1符号相反，故②不正确；
对于③，当d＞0，且S₃=S₈时，可得a₁＜0，a₄+a₅+a₆+a₇+a₈=0，即5a₆=0，a₆=0，
则S₅和S₆都是{S_n}中的最小项，故③正确；
对于④，因为等差数列{a_n}的公差d≠0，所以S_k=ka₁+

k(k-1)d

2

，

SK

k

=a₁+

k-1

2

d
当k≥2（k∈N）时，

Sk k S1 1

k-1

=

a1+ k-1 2 d-a1

k-1

=

1

2

d（d为常数），
所以点（1，

S1

1

），（2，

S2

2

），（3，

S3

3

），…，（n，

Sn

n

）（n∈N^*），…，在同一条直线上，故④正确．
故答案为：①③④．

点评：本题考查等差数列的定义、通项和求和，以及等差数列的等差数列的中项的性质和求和的性质，以及等差数列的单调性及最值，属于中档题．