Question

设函数f（x）=ax²+bx+

3

2

（a，b为实数且a＞0）
（1）若f（1）=1，且对任意实数x的均有f（x）≥1成立，求f（x）表达式；
（2）在（1）的条件下，当x∈[-2，2]时，若g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的值；
（3）若函数f（x）的定义域为[m，n]，值域为[m，n]（m＜n），则称函数f（x）是[m，n]上的“方正”函数，设f（x）是[1，2]上的“方正”函数，求常数b的值．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数的值域,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据已知条件容易得到，ax2+bx+

1

2

≥0对任意x恒成立，所以有△=b²-2a≤0，而由f（1）=1得到a=-b-

1

2

，带入上式即可求出b，a，从而求出f（x）=

1

2

x2-x+

3

2

；
（2）求出g（x）=

1

2

x2-(k+1)x+

3

2

，所以通过题设可得k+1≤-2，或k+1≥1，从而可求出k的取值范围；
（3）f（x）的对称轴为x=-

b

2a

，所以讨论对称轴和区间的关系：当-

b

2a

≤1时，则有

a+b+ 3 2 =1 4a+2b+ 3 2 =2

；当1＜-

b

2a

＜2时，则有

6a-b2 4a =1 a+b+ 3 2 =2

，或

6a-b2 4a =1 4a+2b+ 3 2 =2

；当-

b

2a

≥2时，

a+b+ 3 2 =2 4a+2b+ 3 2 =1

，解出a，b，并验证是否满足-

b

2a

及a＞0即可得出b．

解答： 解：（1）由f（x）≥1恒成立得：
ax2+bx+

1

2

≥0对任意x恒成立；
∴△=b²-2a≤0    ①；
f（1）=1得，a+b=-

1

2

；
∴a=-b-

1

2

带入①得，b²+2b+1≤0；
即（b+1）²≤0；
∴b=-1，a=

1

2

；
∴f(x)=

1

2

x2-x+

3

2

；
（2）g（x）=

1

2

x2-(k+1)x+

3

2

，该函数对称轴为x=k+1；
∵x∈[-2，2]时g（x）是单调函数；
∴k+1≤-2，或k+1≥1；
∴实数k的取值范围为（-∞，-3]∪[0，+∞）；
（3）①若-

b

2a

≤1，则f（x）在[1，2]上单调递增；
∴

a+b+ 3 2 =1 4a+2b+ 3 2 =2

；
解得a=

3

4

，b=-

5

4

，-

b

2a

=

5

6

＜1，即存在这种情况；
②若1＜-

b

2a

＜2，则：

6a-b2 4a =1 f(1)=a+b+ 3 2 =2

（Ⅰ）或

6a-b2 4a =1 f(2)=4a+2b+ 3 2 =2

（Ⅱ）；
解（Ⅰ）得，b=-1±

2

，解（Ⅱ）得b=

-1± 2

2

，经验证都不满足1＜-

b

2a

＜2，所以这种情况不存在；
③若-

b

2a

≥2，则f（x）在[1，2]上单调递减；
∴

f(1)=a+b+ 3 2 =2 f(2)=4a+2b+ 3 2 =1

；
解得a=-

3

4

，不符合a＞0，所以这种情况不存在；
综上得b=-

5

4

．

点评：考查一元二次不等式的解集为R时判别式△的取值情况，二次函数的单调性，二次函数的对称轴，以及二次函数的值域，二次函数的最值．